题目内容
【题目】已知函数.
()当
时,求
的单调区间.
()当
时,求函数
在区间
上的最小值.
()在条件(
)下,当最小值为
时,求
的取值范围.
【答案】(1)当时,
的单调区间为
,单调减区间是
,当
时,
的单调增区间为
和
,单调减区间是
;当
时,
的单调增区间是
;当
时,
的单调增区间是
和
,单调减区间是
;(2)
;(3)
.
【解析】试题分析:(1)求出,分四种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(2)分三种情况讨论
的范围,分别利用导数研究函数的单调性,根据单调性可求得函数
在区间
上的最小值;(3)分三种情况讨论
的范围,分别利用导数求出函数的最小值,排除不合题意的情况,即可筛选出符合题意的
的取值范围.
试题解析:( )由函数
可知,
函数的定义域是
,且
,
当时,
,
令,得
;令
,得
,
∴的单调增区间为
,单调减区间是
;
当时,令
得
或
,
若,即
,则
恒成立,∴
在
上单调递增,
若,即
,则
和
时,
,当
时,
,
∴在
和
上单调递增,在
上单调递减;
若,即
,则
和
时,
,当
时,
,
∴在
和
上单调递增,在
上单调递减,
综上所述,当时,
的单调区间为
,单调减区间是
,
当时,
的单调增区间为
和
,单调减区间是
;
当时,
的单调增区间是
;
当时,
的单调增区间是
和
,单调减区间是
.
()由(
)可知,当
,即
时,
在
上单调递增,
∴在
上的最小值是
;
当时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
∴在
上的最小值是
,
当时,即
时,
在
上单调递减,
∴在
的最小值是
,
综上所述,当时,
在
上的最小值是
;
当时,
在
上的最小值是
;
当时,
在
上的最小值是
.
()由(
)可知,当
时,
在
上单调递增,
∴在
上的最小值是
;
当时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
∴在
上最小值是
;
当时,
在
上单调递减,
∴在
上的最小值是
;
综上,若在区间
上的最小值是
,则
,
故的取值范围是
.
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