题目内容

【题目】已知函数f(x)=|x+m|+|2x﹣1|(m∈R) (I)当m=﹣1时,求不等式f(x)≤2的解集;
(II)设关于x的不等式f(x)≤|2x+1|的解集为A,且[ ,2]A,求实数m的取值范围.

【答案】解:( I)当m=﹣1时,f(x)=|x﹣1|+|2x﹣1|, f(x)≤2|x﹣1|+|2x﹣1|≤2,
上述不等式可化为:

解得
∴0≤x≤ <x<1或1≤x≤
∴原不等式的解集为{x|0≤x≤ }.
( II)∵f(x)≤|2x+1|的解集包含[ ,2],
∴当x∈[ ,2]时,不等式f(x)≤|2x+1|恒成立,
即|x+m|+|2x﹣1|≤|2x+1|在x∈[ ,2]上恒成立,
∴|x+m|+2x﹣1≤2x+1,
即|x+m|≤2,∴﹣2≤x+m≤2,
∴﹣x﹣2≤m≤﹣x+2在x∈[ ,2]上恒成立,
∴(﹣x﹣2)max≤m≤(﹣x+2)min
∴﹣ ≤m≤0,
所以实数m的取值范围是[﹣ ,0]
【解析】(Ⅰ)问题转化为|x﹣1|+|2x﹣1|≤2,通过讨论x的范围,求出不等式的解集即可;(Ⅱ)问题转化为|x+m|+|2x﹣1|≤|2x+1|在x∈[ ,2]上恒成立,根据(﹣x﹣2)max≤m≤(﹣x+2)min , 求出m的范围即可.
【考点精析】认真审题,首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号).

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