题目内容
13.无穷数列{an}的前n项和Sn=npan(n∈N*),并且a1≠a2.S10=45(1)求p的值;
(2)求{an}的通项公式.
分析 (1)通过在Sn=npan中令n=1可知p=1或a1=0并能排除p=1,进而重新令n=2计算即得结论;
(2)利用an=Sn-Sn-1整理可知$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{n-1}{n-2}({n≥3})$,通过累乘可知${a_n}=({n-1}){a_2}({n∈{N^*}})$,进而计算即得结论.
解答 解:(1)令n=1,则a1=pa1,
∴p=1或a1=0;
假设p=1,再令n=2,则a1+a2=2a2,
于是有a1=a2,这与题目a1≠a2矛盾,
∴必有a1=0,p≠1,a2≠0,
下面重新令n=2,则a1+a2=2pa2,
∵a1=0,a2≠0,
∴$p=\frac{1}{2}$;
(2)∵$p=\frac{1}{2}$,
∴${S_n}=\frac{n}{2}{a_n}$,${S_{n-1}}=\frac{n-1}{2}{a_{n-1}}$,
以上两式相减得:${a_n}=\frac{n}{2}{a_n}-\frac{n-1}{2}{a_{n-1}}({n≥2})$,
即:$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{n-1}{n-2}({n≥3})$,
采用累乘法可得:${a_n}=({n-1}){a_2}({n∈{N^*}})$,
又∵S10=45,
∴a10=9,
∴a2=1,
∴${a_n}=n-1({n∈{N^*}})$.
点评 本题考查数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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3.在一批棉花中抽测了60根棉花的纤维长度,结果如下(单位:mm)
作出这个样本的频率分布直方图(在对样本数据分组时,可试用不同的分组方式,然后从中选择一种较为适合的分组方法).棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标,你能从图中分析出这批棉花的质量状况吗?
82 | 202 | 352 | 321 | 25 | 293 | 293 | 86 | 28 | 206 |
323 | 355 | 357 | 33 | 325 | 113 | 233 | 294 | 50 | 296 |
115 | 236 | 357 | 326 | 52 | 301 | 140 | 328 | 238 | 358 |
58 | 255 | 143 | 360 | 340 | 302 | 370 | 343 | 260 | 303 |
59 | 146 | 60 | 263 | 170 | 305 | 380 | 346 | 61 | 305 |
175 | 348 | 264 | 383 | 62 | 306 | 195 | 350 | 265 | 385 |
1.极坐标系中,圆ρ=2cosθ与直线2ρcos(θ+$\frac{π}{3}$)=-1的位置关系为( )
A. | 相离 | B. | 相切 | C. | 相交 | D. | 无法确定 |
8.某学校为了解该校高三年级学生在市一练考试的数学成绩情况,随机从该校高三文科与理科各抽取50名学生的数学成绩,作出频率分布直方图如图,规定考试成绩[120,150]内为优秀.
(1)由以上频率分布直方图填写下列2×2列联表,若按是否优秀来判断,是否有99%的把握认为该校的文理科数学成绩有差异.
(2)某高校派出2名教授对该校随机抽取的学生中一练数学成绩在140分以上的学生进行自主招生面试,每位教授至少面试一人,每位学生只能被一位教授面试,若甲教授面试的学生人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$;
(1)由以上频率分布直方图填写下列2×2列联表,若按是否优秀来判断,是否有99%的把握认为该校的文理科数学成绩有差异.
文科 | 理科 | 总计 | |
优秀 | |||
非优秀 | |||
总计 | 50 | 50 | 100 |
K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$;
P(K2>k) | 0.10 | 0.025 | 0.010 |
K2 | 2.706 | 5.024 | 6.635 |
18.若x<0,则5+4x+$\frac{3}{x}$的最大值为( )
A. | 5+4$\sqrt{3}$ | B. | 5±4$\sqrt{3}$ | C. | 5-4$\sqrt{3}$ | D. | 以上都不对 |
5.某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如表:
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({t}_{i}-\overline{t})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({t}_{i}-\overline{t})^{2}}$,a=$\overline{y}$-b$\overline{t}$.
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(2)利用(1)中的回归方程,预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({t}_{i}-\overline{t})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({t}_{i}-\overline{t})^{2}}$,a=$\overline{y}$-b$\overline{t}$.
2.若一组数据a1,a2,…,an的方差是5,则一组新数据2a1,2a2,…,2an的方差是( )
A. | 5 | B. | 10 | C. | 20 | D. | 50 |