题目内容

13.无穷数列{an}的前n项和Sn=npan(n∈N*),并且a1≠a2.S10=45
(1)求p的值;          
(2)求{an}的通项公式.

分析 (1)通过在Sn=npan中令n=1可知p=1或a1=0并能排除p=1,进而重新令n=2计算即得结论;
(2)利用an=Sn-Sn-1整理可知$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{n-1}{n-2}({n≥3})$,通过累乘可知${a_n}=({n-1}){a_2}({n∈{N^*}})$,进而计算即得结论.

解答 解:(1)令n=1,则a1=pa1
∴p=1或a1=0;
假设p=1,再令n=2,则a1+a2=2a2
于是有a1=a2,这与题目a1≠a2矛盾,
∴必有a1=0,p≠1,a2≠0,
下面重新令n=2,则a1+a2=2pa2
∵a1=0,a2≠0,
∴$p=\frac{1}{2}$;
(2)∵$p=\frac{1}{2}$,
∴${S_n}=\frac{n}{2}{a_n}$,${S_{n-1}}=\frac{n-1}{2}{a_{n-1}}$,
以上两式相减得:${a_n}=\frac{n}{2}{a_n}-\frac{n-1}{2}{a_{n-1}}({n≥2})$,
即:$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{n-1}{n-2}({n≥3})$,
采用累乘法可得:${a_n}=({n-1}){a_2}({n∈{N^*}})$,
又∵S10=45,
∴a10=9,
∴a2=1,
∴${a_n}=n-1({n∈{N^*}})$.

点评 本题考查数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

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