题目内容

13．一个车辆制造厂引进了一条摩托车装配流水线，厂家在每个星期内：投入的固定成本3200元，每辆车的其它投入为100元，生产x辆摩托车的“生产价值”为-2x2+600x元．注：周利润=“生产价值”-（周固定成本+摩托车的其它收入）．
（Ⅰ）若这家工厂利用这条流水线，使厂家的周利润不低于16800元，求厂家生产摩托车的数量的取值范围；
（Ⅱ）求该厂家的每辆摩托车的平均周利润的最大值及此时厂家生产摩托车的数量．

分析 （Ⅰ）设厂家生产摩托车的数量的为x，根据周利润关系求出对应的解析式，解不等式即可；
（Ⅱ）求出平均周利润y=$\frac{f（x）}{x}$的表达式，利用基本不等式进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）设厂家生产摩托车的数量的为x，（x≥0且x∈N）；
则周利润f（x）=-2x2+600x-100x-3200=-2x2+500x-3200，
若使厂家的周利润不低于16800元，
即-2x2+500x-3200≥16800，
即2x2-500+20000≤0，
即（x-200）（2x-100）≤0
解：50≤x≤200，
即厂家生产摩托车的数量的取值范围是50≤x≤200，且x∈N．
（Ⅱ）平均周利润y=$\frac{f（x）}{x}$=-2x+500-$\frac{3200}{x}$=500-（2x+$\frac{3200}{x}$）
≤500-2$\sqrt{2x•\frac{3200}{x}}$=500-2$\sqrt{6400}$=500-2×80=340，
当且仅当2x=$\frac{3200}{x}$，即x=40时取等号，
故均周利润的最大值为340及此时厂家生产摩托车的数量为40辆．

点评 本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数表达式，结合一元二次不等式以及基本不等式进行求解是解决本题的关键．

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