Question

12．已知函数f（x）=xe^x，对?x∈R，a-f（x）≤0恒成立，则a的最大值为（　　）

• A． -e
• B． e
• C． -e^-1
• D． e^-1

Answer 1

分析 由题意可得，即求f（x）的最小值，利用导数先判断函数的单调性，求出最小值即得结论．

解答 解：∵任意x∈R，a-f（x）≤0恒成立，
∴只要f（x）_min≥a即可，
f（x）=xe^x的导数为f′（x）=（1+x）e^x，
令f′（x）＞0⇒x＞-1，即函数f（x）的单调递增区间是（-1，+∞）；
由f′（x）＜0⇒x＜-1，即函数f（x）的单调递减区间是（-∞，-1）；
∴当x=-1时，f（x）_min=f（-1）=-e^-1，
∴实数a的取值范围（-∞，-e^-1]，
即有a的最大值为-e^-1．
故选C．

点评 本题主要考查导数的运用，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查恒成立问题的等价转化能力及计算能力，属于中档题．