题目内容
【题目】设函数,
.
(1)当时,函数
有两个极值点,求
的取值范围;
(2)若在点
处的切线与
轴平行,且函数
在
时,其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)求得导函数,题意说明
有两个零点,即
有两个解,或直线
与函数
的有两个交点,可用导数研究
的性质(单调性,极值等),由零点存在定理即可得
的范围;
(2)首先题意说明,
,从而有
且
,其次
时,
恒成立,因此
的最小值大于0,这可由导数来研究,从而得出
的范围.
(1)当时,
,
,
所以有两个极值点就是方程
有两个解,
令,则
.
当时,
在区间
上恒成立,则
此时单调递增,
又为连续函数,由零点存在定理可知:
最多只有一个零点,也即
最多只有一个解,不符合题意;
当时,令
,解得
,
故在区间
单调递增,在
单调递减.
,
若,即
时,根据函数单调性可知:
此时,故
无解,不符合题意;
若,即
时,根据函数单调性可知:
此时,只有一个解,不符合题意;
若,即
时,
又,
,(最后进行证明)
又,故由零点存在定理可知:
此时有两个根,满足题意.
综上.
现证:,
令,故
,
故在定义域内单调递增,
故,
即证.
(2)函数在点
处的切线与
轴平行,
所以且
,因为
,
所以且
;
在
时,
其图象的每一点处的切线的倾斜角均为锐角,
即当时,
恒成立,即
,
令,∴
设,
,
因为,所以
,
,∴
,
∴在
单调递增,即
在
单调递增,
∴,
当且
时,
,
所以在
单调递增;
∴成立
当,因为
在
单调递增,
所以,
,
所以存在有
;
当时,
,
单调递减,
所以有,
不恒成立;
所以实数的取值范围为
.
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