题目内容
【题目】在单位正内任取一点P,以PA、PB、PC为边生成
.
(1)当分别为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时,求出点P的轨迹.
(2)证明:当的周长取最小值时,面积取最大值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
如图,记.
将绕点B逆时针旋转
得
,则
,
.
就是由PA、PB、PC所组成的
,且其三个内角
,
,
.
(1)当存在时,
为直角三角形.
由,知
.
所以,点P在三个单位圆的弧AB、BC、CA上(图).
当存在时,
为钝角三角形.
由,知
.
由圆内角大于圆周角知,点P在图中的三个弓形内(阴影部分,不包括边界).
当,
,
同时成立时,
为锐角三角形,得
,
,
.
由圆外角小于圆周角知,点P在图8中的三个圆弧外(曲边内部,不包括边界).
(2)先确定周长取最小值时点P的位置.为此,将如图的
绕点B逆时针旋转
得
,联结MC、PN.则折线
.
当且仅当M、N、P、C四点共线时,的周长取最小值.此时,有
,即点P为
的中心(
).
下面说明,这恰好是面积取最大值的条件.
在中,由余弦定理和基本不等式有
,
故.当且仅当
时,等号成立.
在中,
.
由面积公式有
.
两处放大的地方同时取等号当且仅当
由式②有.
所以,.
从而,,代入式①得
.
这表明,PA、PB在的中线上,且相交于距顶点
处,点P为中心.
所以,当点P为的中心时,
的周长最短且面积最大,最大值为
.
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练习册系列答案
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y(万元) | 8 | 10 | 13 | 17 | 22 |
(1)求y关于x的线性回归方程;
(2)根据(1)中的回归方程,判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大(毛利率)?
相关公式:,
.