题目内容
【题目】如图，在底面边长为
、高为
的正六棱柱
展厅内，长为，宽为
的矩形油画
挂在厅内正前方中间.
（1）求证：平面
平面
；
（2）当游客
在
上看油画的纵向视角（即
）最大时，求
与油画平面所成的角.
【答案】（1）证明见解析（2）
.
【解析】
（1）连结
，
，可证
，
，即可得到
面
，从而得证；
（2）在矩形
中，设
，
，则
，
，利用两角差的正切公式表示出
，再利用基本不等式求出的最值，过
点作
交
的延长线于
点，连结
，
，则
就是
与面
所成的角，再由勾股定理计算可得；
解：（1）连结，，因在正六棱柱
中，
底面
是正六边形，
，
又
，所以
，
则
，
，
因
是矩形，所以，
又
，所以，
又
，
面，
面，
所以面，又
面，
所以平面
平面.
（2）在矩形中，设，，
又
，
，
，，
，
，当
时等号成立.
所以
，故当
时，即
，
最大.
过点作交的延长线于点，连结，.
在正六棱柱中，
面，面，所以面
面，
面
面
，
，
面，
所以
面，则
为在面内的射影，
故就是与面所成的角.
在
中，
，
，所以
，
在
中，，
，所以
，
在
中，，，
所以
，所以
.
故游客在
上看油画的纵向视角最大时，与油画平面所成的角为.
【题目】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别 是否需要志愿者 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
附：
的观测值
| 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
【题目】某高中在校学生2000人
为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表：
高一年级 | 高二年级 | 高三年级 | |
跑步 | a | b | c |
登山 | x | y | z |
其中a：b：
：3：5，全校参与登山的人数占总人数的
，为了了解学生对本次活动的满意程度，现用分层抽样方式从中抽取一个100个人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取
A. 6人B. 12人C. 18人D. 24人
