题目内容

2．把实数a，b，c，d排成$（{\begin{array}{l}a&c\\ b&d\end{array}}）$的形式，称为二行二列矩阵．对于点P（x，y），定义矩阵的一种运算$（{x，y}）（{\begin{array}{l}a&c\\ b&d\end{array}}）=（{ax+by，cx+dy}）$，并称（ax+by，cx+dy）为点P在矩阵$（{\begin{array}{l}a&c\\ b&d\end{array}}）$作用下的点．给出下列命题：
①点P（3，4）在矩阵$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{1}\end{array}）$作用下的点为（3，10）；
②曲线y=x2上的点在矩阵$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}）$的作用下将满足方程y=-x2；
③方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{11}x+{a}_{12}y={b}_{1}}\\{{a}_{21}x+{a}_{22}y={b}_{2}}\end{array}\right.$可表示成矩阵运算（x，y）$（\begin{array}{l}{{a}_{11}}&{{a}_{12}}\\{{a}_{21}}&{{a}_{22}}\end{array}）$=（b1，b2）；
④若曲线x2+4xy+2y2=1在$（\begin{array}{l}{1}&{a}\\{b}&{1}\end{array}）$作用下变换成曲线x2-2y2=1，则a+b=2．
其中真命题的序号为①④．（填上所有真命题的序号）

分析 ①（3，4）$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{1}\end{array}）$=（3×1+4×0，3×2+4×1）=（3，10），从而判断；
②设曲线y=x2上的点为（x1，y1），在矩阵$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}）$的作用下的点为（x，y）；则（x1，y1）$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}）$=（x1，y1）=（x，y）；从而判断；
③（x，y）$（\begin{array}{l}{{a}_{11}}&{{a}_{12}}\\{{a}_{21}}&{{a}_{22}}\end{array}）$=（xa11+ya21，xa12+ya22），从而判断；
④x2+4xy+2y2=1可化为（x+2y）2-2y2=1；从而可得（x，y）$（\begin{array}{l}{1}&{a}\\{b}&{1}\end{array}）$=（x+2y，y）；从而求a，b；

解答 解：①∵（3，4）$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{1}\end{array}）$=（3×1+4×0，3×2+4×1）=（3，10）；
∴点P（3，4）在矩阵$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{1}\end{array}）$作用下的点为（3，10）是真命题；
②设曲线y=x2上的点为（x1，y1），在矩阵$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}）$的作用下的点为（x，y）；
则（x1，y1）$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}）$=（x1，y1）=（x，y）；
故满足方程y=x2，
故②是假命题；
③（x，y）$（\begin{array}{l}{{a}_{11}}&{{a}_{12}}\\{{a}_{21}}&{{a}_{22}}\end{array}）$=（xa11+ya21，xa12+ya22）；
故③是假命题；
④x2+4xy+2y2=1可化为（x+2y）2-2y2=1；
则（x，y）$（\begin{array}{l}{1}&{a}\\{b}&{1}\end{array}）$=（x+2y，y）；
故b=2，a=0；
即a+b=2；
故④是真命题；
故答案为：①④．

点评 本题考查了矩阵与变换的应用，属于基础题．

练习册系列答案
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