题目内容

12．如图1，在直角梯形SABC中，∠B=∠C=$\frac{π}{2}$，D为边SC上的点，且AD⊥SC，现将△SAD沿AD折起到达PAD的位置（折起后点S记为P），并使得PA⊥AB．
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）已知PD=AD，PD+AD+DC=6，当线段PB取得最小值时，请解答以下问题：
①设点E满足$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BP}$（0≤λ≤1），则是否存在λ，使得平面EAC与平面PDC所成的锐角是$\frac{π}{3}$？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由；
②设G是AD的中点，则在平面PBC上是否存在点F，使得FG⊥平面PBC？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由．

分析 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明PD⊥平面ABCD；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 证明：（1）∵PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD，
∵PD⊥AD，AD∩AB=A，
∴PD⊥平面ABCD
（2）设PD=x，则AD=x，DC=6-2x，
∴PB2=x2+x2+（6-2x）2=6（x-2）2+12，当且仅当x=2时，PB2取得最小值，
即PB取得最小值，
以以D为原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
设PD=AD=2，
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），
$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{BP}$=（-2，-2，2），
$\overrightarrow{CA}$=（2，-2，0），
①存在，事实上，$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{CB}+λ\overrightarrow{BP}$=（2-2λ，-2λ，2λ），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面ACE的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（2-2λ）x-2λy+2λz=0}\\{2x-2y=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（λ，λ，2λ-1），
则$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）是平面PCD的一个法向量，
则cos$\frac{π}{3}$=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|λ|}{\sqrt{2{λ}^{2}+（2λ-1）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
∵00＜λ＜1，∴λ=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
②设存在点F符合题意，而点F在平面PBC上，于是存在m，n使$\overrightarrow{CF}=m\overrightarrow{CB}+n\overrightarrow{CP}$，
$\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{GC}$$+m\overrightarrow{CB}+n\overrightarrow{CP}$=（-1+2m，2-2n，2n），
注意到等腰直角三角形PDC，斜边上的直线垂直于平面PBC，
则$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，0，1）是平面PBC的一个法向量，
则$\overrightarrow{{n}_{1}}$∥$\overrightarrow{CF}$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1+2m=0}\\{2-2n=2n}\end{array}\right.$，
解得m=n=$\frac{1}{2}$，此时点F（1，1，1，），
故在平面PBC上是存在PB的中点F，使得FG⊥平面PBC．

点评 本题主要考查了线面垂直的定义和判定定理的应用，平面向量的运算，法向量的定义等知识．考查了学生对基础知识的综合运用．

练习册系列答案
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④若曲线x2+4xy+2y2=1在$（\begin{array}{l}{1}&{a}\\{b}&{1}\end{array}）$作用下变换成曲线x2-2y2=1，则a+b=2．
其中真命题的序号为①④．（填上所有真命题的序号）

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