已知椭圆C1:$\frac{{x}^{2}}{{a} {1}^2}$+$\frac{{y}^{2}}{{{b} {1}}^{2}}$=1(a1＞0.b2＞0)与双曲线C2::$\frac{{x}^{2}}{{a} {2}^2}$-$\frac{{y}^{2}}{{{b} {2}}^{2}}$=1(a1＞0.b2＞0)有相同的焦点F1.F2.点P是两曲线的一个公共点.e1.e2又分别是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

14．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^2}$+$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1（a₁＞0，b₂＞0）与双曲线C₂：：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^2}$-$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}$=1（a₁＞0，b₂＞0）有相同的焦点F₁，F₂，点P是两曲线的一个公共点，e₁，e₂又分别是两曲线的离心率，若PF₁⊥PF₂，则4e₁²+e₂²的最小值（　　）

A．

$\frac{5}{2}$

B．

4

C．

$\frac{9}{2}$

D．

9

分析题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a₁，双曲线实轴为2a₂，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出a₁²+a₂²=2c²，由此能求出4e₁²+e₂²的最小值．

解答解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a₁，双曲线实轴为2a₂，
令P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2a₂，①
由椭圆定义|PF₁|+|PF₂|=2a₁，②
又∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，③
①²+②²，得|PF₁|²+|PF₂|²=2a₁²+2a₂²，④
将④代入③，得a₁²+a₂²=2c²，
∴4e₁²+e₂²=$\frac{4{c}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$=$\frac{5}{2}$+$\frac{2{{a}_{2}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{2{{a}_{2}}^{2}}$≥$\frac{5}{2}$+2=$\frac{9}{2}$．
故选：C．

点评本题考查4e₁²+e₂²的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．

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其中正确的命题是①③．（填上所有正确命题的序号）