题目内容
10.设AB,CD是过抛物线y2=8x-2焦点F的两条弦,AB、CD的倾角分别为α、2α,且|$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{CD}$|,求|$\overrightarrow{AB}$|,|$\overrightarrow{CD}$|的值.分析 求得抛物线的焦点F,设出直线AB的参数方程,代入抛物线方程,由韦达定理和参数的几何意义,可得弦长AB,同理可得弦长CD,结合条件,运用二倍角公式和同角公式,计算可得AB,CD的长.
解答 解:抛物线y2=8x-2,
即为y2=8(x-$\frac{1}{4}$),
焦点F($\frac{9}{4}$,0),
设弦AB所在的直线方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{4}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$(t为参数),
代入抛物线方程得t2sin2α-8tcosα-16=0,
t1+t2=$\frac{8cosα}{si{n}^{2}α}$,t1t2=-$\frac{16}{si{n}^{2}α}$,
∴|AB|=|t1-t2|=$\sqrt{(\frac{8cosα}{si{n}^{2}α})^{2}+\frac{64}{si{n}^{2}α}}$=$\frac{8}{si{n}^{2}α}$,
同理可得|CD|=$\frac{8}{si{n}^{2}2α}$,
∵|AB|=2|CD|,
即为$\frac{1}{si{n}^{2}α}$=$\frac{2}{4si{n}^{2}αco{s}^{2}α}$,
∴cos2α=$\frac{1}{2}$,sin2α=$\frac{1}{2}$,
∴sin22α=4sin2αcos2α=1,
∴|AB|=16,|CD|=8.
点评 本题考查抛物线的方程和性质,考查直线的参数方程的运用,同时考查三角函数的恒等变换公式的运用,属于中档题.
练习册系列答案
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1.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为( )
A. | $\frac{7}{15}$ | B. | $\frac{8}{15}$ | C. | $\frac{3}{5}$ | D. | $\frac{7}{10}$ |
15.设l表示直线,α、β表示平面,已知α⊥β,则“l⊥α”是“l∥β”的( )
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |