题目内容

6.为了调查高一新生中女生的体重情况,校卫生室随机选取20名女生作为样本测量她们的体重(单位:kg),获得的所有数据按照区间(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]进行分组,得到频率分布直方图如图所示.已知样本中体重在区间(45,50]上的女生数与体重在区间(55,60]上的女生数之比为4:3.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)从样本中体重在区间(50,60]上的女生中随机抽取两人,求体重在区间(55,60]上的女生至少有一人被抽中的概率.

分析 (Ⅰ)根据频率的求法及所有小组的频率和为1,构造关于a,b的方程组,解之即得a,b的值;
(Ⅱ)根据概率的求法,计算可得答案,分别求出包含基本事件及从(50,60]中任意抽取2个个体基本事件总数,最后求出它们的比值即可.

解答 解:(Ⅰ)样本中体重在区间(45,50]上的女生有a×5×20=100a(人),…(1分)
样本中体重在区间(50,60]上的女生有(b+0.02)×5×20=100(b+0.02)(人),…(2分)
依题意,有100a=$\frac{4}{3}$×100(b+0.02),即a=$\frac{4}{3}$×(b+0.02).①…(3分)
根据频率分布直方图可知(0.02+b+0.06+a)×5=1,②…(4分)
解①②得:a=0.08,b=0.04…(6分)
(Ⅱ)样本中体重在区间(50,55]上的女生有0.04×5×20=4人,分别记为
A1,A2,A3,A4,…(7分)
体重在区间(55,60]上的女生有0.02×5×20=2人,分别记为B1,B2…(8分)
从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况:
(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),
(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2)…(10分)
其中体重在(55,60]上的女生至少有一人共有9种情况:
(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),
(B1,B2)…(11分)
记“从样本中体重在区间(50,60]上的女生随机抽取两人,体重在区间(55,60]上的女生
至少有一人被抽中”为事件M,则P(M)=$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$…(12分)

点评 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.

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