Question

16．若变量x，y满足$\left\{\begin{array}{l}2x-y+2≤0\\ x+2y-4≥0\\ x-3y+11≥0\end{array}\right.$，则z=2x+y的取值范围是[-1，6]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+z的截距最大，
此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{x-3y+11=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，即C（1，4），
代入目标函数z=2x+y得z=2+4=6．
当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最小，
此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{x-3y+11=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（-2，3），
代入目标函数z=2x+y得z=-2×2+3=-1．
目标函数z=2x+y的取值范围是[-1，6]，
故答案为：[-1，6]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．