Question

17．已知函数f（x）=$\frac{e}{x}$-lnx，g（x）=e^x-1+a-lnx，其中e=2.71828…，a∈R．
（1）求f（x）的零点；
（2）求g（x）的极值；
（3）如果s，t，r满足|s-r|＜|t-r|，那么称s比t更靠近r．当a≥2且x≥1时，试比较$\frac{e}{x}$和e^x-1+a哪个更靠近lnx，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到当0＜x≤e时，f（x）≥0；当x＞e时，f（x）＜0，即可求f（x）的零点；
（2）求出函数的导数，确定x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）递减，当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增，即可求g（x）的极值；
（3）当1≤x≤e时，推出|f（x）|＜|g（x）|，说明$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近lnx．当x＞e时，通过作差，构造新函数，利用二次求导，判断函数的单调性，证明$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近lnx．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{e}{x}$-lnx，∴f′（x）=-$\frac{e}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
∴f（x）=$\frac{e}{x}$-lnx在（0，+∞）上是减函数，又f（e）=0
∴当0＜x≤e时，f（x）≥0；当x＞e时，f（x）＜0．
∴x=e是f（x）的唯一零点．…（3分）
（2）∵g（x）=e^x-1+a-lnx，∴$g'（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x}$，g″（x）=e^x-1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴g'（x）在（0，+∞）上为增函数，又g'（1）=0，
∴x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）递减，当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增
∴x=1为g（x）的极小值点，极小值为g（1）=a+1，g（x）无极大值．…（6分）
（3）当1≤x≤e时，|f（x）|-|g（x）|=$\frac{e}{x}$-e^x-1-a
设m（x）=$\frac{e}{x}$-e^x-1-a，则$m'（x）=-\frac{e}{x^2}-{e^{x-1}}＜0$，∴m（x）在[1，+∞）上为减函数
∴m（x）≤m（1）=e-1-a，∵a≥2，∴m（x）＜0，
∴|f（x）|＜|g（x）|，∴$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近lnx…（9分）
当x＞e时，$|f（x）|-|g（x）|=-f（x）-g（x）=-\frac{e}{x}+2lnx-{e^{x-1}}-a＜2lnx-{e^{x-1}}-a$
设n（x）=2lnx-e^x-1-a，则$n'（x）=\frac{2}{x}-{e^{x-1}}$，n″（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}-{e}^{x-1}$＜0
∴n'（x）在（e，+∞）上为减函数，∴$n'（x）＜n'（e）=\frac{2}{e}-{e^{e-1}}＜0$，
∴n（x）在（e，+∞）上为减函数，∴n（x）＜n（e）=2-a-e^e-1＜0，∴|f（x）|＜|g（x）|
∴$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近lnx…（12分）
综上，在a≥2，x≥1时，$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近lnx．…（14分）

点评 本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性等情况．本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求．