Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的奇偶性；

（2）当时，求在的值域；

（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数；（2）；（3）或.

【解析】

（1）当a＝0时，利用定义判断f（x）为奇函数；当a≠0时，利用特值判断f（x）为非奇非偶函数；

（2）将a＝4代入，分类讨论f（x）的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案；

（3）去绝对值，分离参数，转化为基本不等式求最值即可

（1）当a＝0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数，理由如下：

当a＝0时，函数f（﹣x）＝﹣x |x|＝﹣f（x），此时，f（x）为奇函数．

当a≠0时，f（a）＝﹣a，f（﹣a）＝﹣2a|a|﹣a，f（a）≠f（﹣a），f（a）≠﹣f（﹣a），

此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）当a＝4时，函数

当1≤x≤4时，f（x）＝4x﹣x2﹣4∈[﹣4，0]，

当5≥x＞4时，f（x）＝x2-4x-4∈[﹣4，1]，

综上，当a＝4时，求f（x）的值域为[﹣4，1]，

（3）对任意的x∈[3,5],f(x)≥0恒成立转化为|x-a|≥在x∈[3,5]上恒成立.

当a≤0时,显然不等式恒成立.

当a>0时,|x-a|≥可化为x-a≥或x-a≤-,

由x-a≥得a≤=x+1+-2,

令g(x)=x+1+-2,则g(x)在x∈[3,5]上单调递增,所以g(x)≥4+-2=,故a≤;

由x-a≤-得a≥=x-1++2,

令h(x)=x-1++2,则h(x)在x∈[3,5]上单调递增,所以h(x)≤4++2=,故a≥.

综上,实数a的取值范围为或.