Question

【题目】直三棱柱中， ， ， ， ， .

（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；

（2）若二面角的大小为，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）直接按照求直线与平面所成角的步骤来求即可；直线与平面α所成角可先求出平面α的法向量n与直线的方向向量，则；（2）根据求二面角的步骤，列出关于实数的方程来求；求出二面角的大小，可先求出两个半平面与的法向量，若二面角所成的角为锐角，则；若二面角所成的角钝角，则.

试题解析：

解：分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则， ， ， ， ，

（1）当时， 为的中点，所以， ，， ，设平面的法向量为

则，所以取，又，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（2）， ， ， ，

设平面的法向量为，则，

所以取.

又平面的一个法向量为，由题意得，

所以，解得或（不合题意，舍去），

所以实数的值为.