题目内容
已知函数(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线在点处的切线与x轴平行.
(1)求k的值及的单调区间;
(2)设其中为的导函数,证明:对任意,.
(1),的单调增区间是,单调递减区间是;(2)祥见解析.
解析试题分析:(1)求出函数的导函数,函数在点(1,)处的切线与x轴平行,说明,则k值可求;再求的单调区间,首先应求出函数的定义域,然后让导函数等于0求出极值点,借助于导函数在各区间内的符号求函数的单调区间.(2),分别研究,的单调性,可得函数的范围,即可证明结论.
试题解析:(1)由,得.
因为曲线在处的切线与轴平行,
所以,因此.
所以,
当时,,,;当时,,,.
所以的单调增区间是,单调递减区间是.
(2)证明:因为,所以.
因此,对任意,等价于.
令,则.
因此,当时,,单调递增;当时,,单调递减.
所以的最大值为,故.
设.因为,所以当时,,单调递增,,故当时,,即.
所以.因此对任意,.
考点:1.导数的几何意义;2.函数的单调性;3函数的最值.
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