题目内容
如图所示,抛物线与轴所围成的区域是一块等待开垦的土地,现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地,其中A、B在抛物线上,C、D在轴上.已知工业用地每单位面积价值为元,其它的三个边角地块每单位面积价值元.
(1)求等待开垦土地的面积;
(2)如何确定点C的位置,才能使得整块土地总价值最大.
(1);(2)点C的坐标为.
解析试题分析:(1)由于等待开垦土地是由曲线与x轴围成的,求出曲线与x轴的交点坐标,再用定积分就可求出此块土地的面积;(2)既然要确定点C的位置,使得整块土地总价值最大,那我们只需先设出点C的坐标为(x,0),然后含x的代数式表示出矩形地块ABCD,进而结合(1)的结果就可表示出其它的三个边角地块的面积,从而就能将整块土地总价值表示成为x的函数,再利用导数求此函数的最大值即可.
试题解析:(1)由于曲线与x轴的交点坐标为(-1,0)和(1,0),所以所求面积S=,
故等待开垦土地的面积为 3分
(2)设点C的坐标为,则点B其中,
∴ 5分
∴土地总价值 7分
由得 9分
并且当时,
故当时,y取得最大值. 12分
答:当点C的坐标为时,整个地块的总价值最大. 13分
考点:1.定积分;2.函数的最值.
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