题目内容
已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)当a≠
时，求函数f(x)的单调区间与极值．
(1)3e(2) 所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
【解析】(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e.
(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2.由a≠
知，－2a≠a－2.
以下分两种情况讨论．
①若a>，则－2a<a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x | (－∞，－2a) | －2a | (－2a，a－2) | a－2 | (a－2，＋∞) |
f′(x) | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
f(x) |
| 极大值 |
| 极小值 |
|
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数．
函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若a<，则－2a>a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x | (－∞，a－2) | a－2 | (a－2，－2a) | －2a | (－2a，＋∞) |
f′(x) | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
f(x) |
| 极大值 |
| 极小值 |
|
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．
函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a
