题目内容

3．已知函数f（x）=lnx（lnx-1）+b，且f′（1）=a，f（1）=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）设F（x）=x[f′（x）-1]，求函数F（x）的极值．

分析 （Ⅰ）对f（x）求导，根据题目条件可轻易求得ab
（Ⅱ）对F（x）=x[f′（x）-1]，求出极值点，列表求出极大值和极小值

解答 解：（Ⅰ）∵$f'（x）=\frac{1}{x}（2lnx-1）$，∴f'（1）=-1，又∵f′（1）=a，所以a=-1
又f（1）=0，∴-1+b=0，b=1（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
$F（x）=2lnx-x-1，F'（x）=\frac{2}{x}-1=\frac{2-x}{x}$令F'（x）=0得x=2列表分析如下：

x（0，2）2（2，+∞）
F'（x）+0-
F（x）↑极大值↓
∴F（x）在（0，+∞）上的极大值为F（2）=2ln2-3无极小值．（12分）

点评 本题考查了导数在极值中得应用，属于简单题型，在高考中时常涉及

练习册系列答案
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