题目内容

15.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,PA是⊙O的切线,PB交AC于点E,交⊙O于点D.若PA=PE,∠ABC=60°,PD=1,PB=9,则EC=4.

分析 利用切割线定理结合题中所给数据,得PA=3,由弦切角定理结合有一个角为60°的等腰三角形是正三角形,得到PE=AE=3,最后由相交弦定理可得BE•DE=AE•CE,从而求出EC的长.

解答 解:∵PA是圆O的切线,∴PA2=PD•PB=9,可得PA=3.
∵∠PAC是弦切角,夹弧ADC,∴∠PAC=∠ABC=60°,
∵△APE中,PE=PA,∴△APE是正三角形,可得PE=AE=PA=3.
∴BE=PB-PE=6,DE=PE-PD=2
∵圆O中,弦AC、BD相交于E,
∴BE•DE=AE•CE,可得6×2=3EC,∴EC=4,
故答案为:4.

点评 本题在圆中给出切线,并且以切线长为一边作正三角形的情况下,求线段的长度.着重考查了切线的性质、正三角形的判定和相交弦定理等知识,属于中档题.

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