Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点（2，$\sqrt{2}$），直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同两点A、B．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3）？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意知椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得b=c，a=$\sqrt{2}$c，故椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}$=1，又点（2，$\sqrt{2}$）在椭圆上，由此能导出椭圆的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y并整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由直线y=kx+m与椭圆有两个交点，知m²＜8k²+4，又x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，即有AB中点P的坐标为（-$\frac{2km}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$），由此即可判断是否存在实数k．

解答 解：（1）由题意椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$c∴b²=a²-c²=c²，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}$=1，
又点（2，$\sqrt{2}$）在椭圆上
∴$\frac{4}{2{c}^{2}}$+$\frac{2}{{c}^{2}}$=1，∴c²=4，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）假设存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y并整理得
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-8）＞0，
即m²＜8k²+4，
又x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，∴AB中点P的坐标为（-$\frac{2km}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$），
设AB的垂直平分线l'方程：y=-$\frac{1}{k}$x+3，
∵P在l'上，∴$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$•（-$\frac{2km}{1+2{k}^{2}}$）+3，
即m=-3-6k²，
代入m²＜8k²+4，
得9（1+2k²）²＜4（1+2k²），
即为1+2k²＜$\frac{4}{9}$，解得k∈∅．
故不存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3）．

点评 本题考查椭圆方程和k的取值范围，解题时要认真审题，仔细解答，注意椭圆的方程和性质的灵活运用，合理地进行等价转化．