Question

【题目】对哪些正整数n，存在正整数 m 及正整数，使得？其中可以相同，且.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

先设 n ≥12 且n不满足要求.设 m为偶数，

.

则，且

.

设 l为最小的正整数， 使得.令，其中，t、s为非负整数，.

由于n不满足要求 ，故 r 不可表示为不超过 2l -1个平方和， 且其中每一个不超过.从而，s不可表为不超过个平方和.

当 l≥6 时，由，知.因此，t ≤6.

设为非负整数，.

由，知.

从而，.

若，则s可表为不超过4个平方和，，矛盾；

若，则s可给为不超过5个平方和，，矛盾；

若，则，s可给为不超过个平方和，矛盾.

因此，l≤5 .

当l=5 时 ，

.

设.则.

若 t = 7 ，则由 r ≤112 知 s =0 ，此时，r 可表为7个42之和， 矛盾 ；

若 t = 6 ，验证知当 0 ≤s ≤15 ， s ≠7，15时，s可表为 3个平方和，又

，

，矛盾.

当 l =4 时， 2l-1 =7，

.

若 t ≤4，s ≠7，

则由 s 可表为不超过 3个平方和， 3 ≤2l -1 -t ，矛盾；

若 1 ≤t ≤4，s =7 ，

则，矛盾；

若 t = 0 ， s = 7 ，

则 r 可表为 7个12之和，矛盾 .

因此 ， t ≥5.

从而，，

.

当l ≤3 时，.

下面只要考虑 n ≤67.

由于， 故只要考虑 m ≤9 .

表1

m	a（m - a）可能取值	m - 1个形如 a（m - a）之和且小于或等于 67
9	8，14，18，20	64
8	7，12，15，16	49，54，57，58，59，62，63，64，65，66，67
7	6，10，12	36，40，42，44，46，48，50，52，54，56，58，60，62，64，66
6	5，8，9	25，28，29，31，32，33，34，35，36，37，38，39，40，41，42，43，44，45
5	4，6	16，18，20，22，24
4	3，4	9，10，11，12
3	2	4
2	1	1

查表 1知不满足要求的 n 为：2 ， 3 ， 5 ， 6 ，7 ， 8 ， 13 ， 14 ， 15 ， 17 ， 19 ， 21 ， 23 ， 26 ， 27 ， 30 ， 47 ， 51 ，53 ， 55 ， 61 ，其余 n 均满足要求.