Question

【题目】已知椭圆的离心率为，右焦点为，且椭圆过点．

（I）求椭圆的方程；

（II）若点分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上不同于的动点，直线与直线x=a交于点，证明：以线段为直径的圆与直线相切.

Answer 1

【答案】（I）；（II）详见解析.

【解析】

（I）设椭圆的焦距为，依题意，列出方程组，求得的值，即可求解椭圆的标准方程；

（II）方法一 ①设点的坐标为，当时，得到直线的方程，求得点的坐标， 进而求得线段的中点为，利用点到直线的距离等于半径，即可证明；②又由可得点Q的坐标，求得线段中点的坐标,利用圆心到直线的距离等于半径，可作出证明.

方法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得点P的坐标，进而求得以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，再由直线与圆的位置关系的判定，即可得到结论.

（I）设椭圆的焦距为，依题意，，

解得，，，故椭圆C的标准方程为.

（II）方法一①设点的坐标为，，

因为在椭圆上，，，

由两点的坐标为，直线的方程为：，

当时，则点的坐标为，

设线段的中点为，则点的坐标为，有，

直线的方程为：，整理为，

由，

则点到直线的距离为

，

由，故以为直径的圆与直线相切.

②若时，则点的坐标为或，直线的方程为，直线的方程为或.将代入直线的方程得点的坐标为或，线段中点的坐标为或，所以.又点到直线的距离

由，故以为直径的圆与直线相切.

方法二：由（I）知.

依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，

设点的坐标为，由，消去得.

，，

的坐标为.

因为直线与交点为，的坐标为，，

所以以为直径的圆的圆心坐标为，半径为.

①当直线的斜率存在,即，时，

直线的方程为,即，整理得

设圆心到直线的距离为，则

所以以为直径的圆与直线相切.

②当直线的斜率不存在即时，此时直线的方程为.

圆心坐标为，圆的半径为，此时以为直径的圆与直线相切.