Question

6．设正实数x，y，z满足x²-7xy+16y²-z=0，则当$\frac{z}{xy}$取得最小值时，x+2y-z的最大值为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{9}{8}$
• C． $\frac{9}{4}$
• D． 2

Answer 1

分析 将z=x²-7xy+16y²代入$\frac{z}{xy}$，利用基本不等式化简，即可得到当$\frac{z}{xy}$取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2y-z的最大值．

解答 解：∵x²-7xy+16y²-z=0，
∴z=x²-7xy+16y²，又x，y，z为正实数，
∴$\frac{z}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{16y}{x}$-7≥2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{16y}{x}}$-7=1（当且仅当x=4y时取“=”），
即x=4y（y＞0），
∴x+2y-z=4y+2y-（x²-7xy+16y²）
=6y-4y²
=-4（y-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{9}{4}$≤$\frac{9}{4}$．
∴x+2y-z的最大值为$\frac{9}{4}$．
故选C．

点评 本题考查基本不等式的运用，将z=x²-7xy+16y²代入$\frac{z}{xy}$，求得$\frac{z}{xy}$取得最小值时x=4y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．