题目内容
11.一动圆与圆x2+y2-2x=0外切,同时与y轴相切,动圆圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;
(2)若过点P(4,0)的直线L与曲线C交于A,B两点,求证:以AB为直径的圆经过坐标原点.
分析 (1)利用抛物线的定义,求解曲线C的方程即可;
(2)设出直线方程与抛物线联立,利用韦达定理,证明x1x2+y1y2=0即可.
解答 解:(1)圆x2+y2-2x=0化为(x-1)2+y2=1的圆心C(1,0),
与圆x2+y2-2x=0外切,同时与y轴相切的动圆圆心满足:到定点C(1,0)与到定直线x=-1的距离相等,
因此与圆x2+y2-2x=0外切,同时与y轴相切的动圆圆心的轨迹是抛物线:y2=4x.
(2)依题意可设过P的直线l方程为:x=my+4(m∈R),
设A(x1,y1),B(x2,y2)
直线代入y2=4x得:y2-4my-16=0,
依题意可知△>0恒成立,且y1•y2=-16,
所以x1x2+y1y2=$\frac{1}{16}$(y1•y2)2+y1•y2=0.
所以以AB为直径的圆经过坐标原点.
点评 本题考抛物线的标准方程的求法,直线与椭抛物线的位置关系,抛物线方程的综合应用,考查分析问题解决问题的能力.
练习册系列答案
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1.抛物线x2=-4y的焦点为F,若抛物线上存在一点P,使得P到直线y=1的距离与到直线kx-y+2k+2=0的距离之和的最小值达到最大,则k的值为( )
A. | -$\frac{2}{3}$ | B. | -$\frac{3}{2}$ | C. | $\frac{2}{3}$ | D. | $\frac{3}{2}$ |
6.设正实数x,y,z满足x2-7xy+16y2-z=0,则当$\frac{z}{xy}$取得最小值时,x+2y-z的最大值为( )
A. | 0 | B. | $\frac{9}{8}$ | C. | $\frac{9}{4}$ | D. | 2 |
16.双曲线方程:$\frac{{x}^{2}}{|k|-2}$+$\frac{{y}^{2}}{5-k}$=1,那么k的取值范围是( )
A. | (5,+∞) | B. | (2,5) | C. | (-2,2) | D. | (-2,2)或(5,+∞) |
20.若函数f(x)=sinx+ax在R上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A. | [-1,1] | B. | (-∞,-1] | C. | (-∞,1] | D. | [1,+∞) |
1.函数f(x)=lnx-$\frac{1}{2}{x^2}$的单调递增区间为( )
A. | (-∞,-1)与(1,+∞) | B. | (0,1)∪(1,+∞) | C. | (0,1) | D. | (1,+∞) |