题目内容
【题目】设实数
，椭圆
的右焦点为F，过F且斜率为k的直线交D于P、Q两点，若线段PQ的中点为N，点O是坐标原点，直线ON交直线
于点M．
若点P的横坐标为1，求点Q的横坐标；
求证：
；
求
的最大值．
【答案】（1）
（2）证明见解析（3）
【解析】
设
，
，直线PQ的方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，即可求出，
设线段PQ的中点为
由利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得N的坐标
联立可得M的坐标，可证明
．
根据弦长公式求出
，利用基本不等式的性质即可得出．
解：可得焦点
，设，，
直线PQ的方程为：
，
联立
，化为：
，
点P的横坐标为1，
，
，
解得
，
．
点Q的横坐标为；
线段PQ的中点为
，
由可得
，
，
，
．
直线ON的方程为
，
联立
，可得
，
．
．
，
．
，
故最小值为，当且仅当
，即
时取等号，
故
的最大值为．
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