题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
在
处的切线方程;
(2)当时,证明:函数
只有一个零点;
(3)若函数的极大值等于
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【解析】
(1)求得函数在处的导数,由此求得切线方程.
(2)通过求的二阶导数,研究其一阶导数,进而求得函数
的单调区间,由此证得函数
只有一个零点.
(3)当时根据(2)的结论证得结论成立.当
,根据
的二阶导数,对
分成
三种情况,利用
的一阶导数,结合零点的存在性定理,求得实数
的取值范围.
(1)当时,
,
,
,
,所以
在
处的切线方程为
.
(2),令
,
当时,
,
在
上单调递减,又
,
所以当时,
,
单调递增,当
时,
,
单调递减
所以,所以
只有一个零点
.
(3)①当时,由(2)知,
的极大值为
,符合题意;
②当时,令
,得
,当
时,
,
单调递增,当
时,
,
单调递减,注意到
,
(ⅰ)当时,
,又
.
所以存在,使得
,当
时,
,
单调递减,当
时,
,
单调递增,当
时,
,
单调递减,所以
的极大值为
,符合题意;
(ⅱ)当时,
恒成立,
在
上单调递减,无极值,不合题意;
(ⅲ)当时,
,又
,令
,
在
上单调递减,
所以,所以
,
存在,使得
,
当时,
,
单调递减,当
时,
,
单调递增,当
时,
,
单调递减,所以
的极大值为
,且
,不合题意.
综上可知,的取值范围是
.
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