题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)当时,证明:函数只有一个零点;
(3)若函数的极大值等于,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【解析】
(1)求得函数在处的导数,由此求得切线方程.
(2)通过求的二阶导数,研究其一阶导数,进而求得函数的单调区间,由此证得函数只有一个零点.
(3)当时根据(2)的结论证得结论成立.当,根据的二阶导数,对分成三种情况,利用的一阶导数,结合零点的存在性定理,求得实数的取值范围.
(1)当时,,,,,所以在处的切线方程为.
(2),令,
当时,,在上单调递减,又,
所以当时,,单调递增,当时,,单调递减
所以,所以只有一个零点.
(3)①当时,由(2)知,的极大值为,符合题意;
②当时,令,得,当时,,单调递增,当时,,单调递减,注意到,
(ⅰ)当时,,又.
所以存在,使得,当时, ,单调递减,当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以的极大值为,符合题意;
(ⅱ)当时,恒成立,在上单调递减,无极值,不合题意;
(ⅲ)当时,,又,令
,在上单调递减,
所以,所以,
存在,使得,
当时,,单调递减,当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以的极大值为,且,不合题意.
综上可知,的取值范围是.
练习册系列答案
相关题目