题目内容
【题目】已知f(x)=ln(ax+b)+x2(a≠0).
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x,求a,b的值;
(2)若f(x)≤x2+x恒成立,求ab的最大值.
【答案】
(1)解:∵f(x)=ln(ax+b)+x2(a≠0),
∴ ,
∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x,
∴ ,
解得,a=﹣1,b=2;
(2)解:设g(x)=f(x)﹣(x2+x),则g(x)=ln(ax+b)﹣x,依题意g(x)≤0恒成立,
①a<0时,g(x)定义域 ,
取x0使得 ,得
,
则
与g(x)≤0矛盾,∴a<0不符合要求,
②a>0时, ,
当 时,g'(x)>0;当
时,g'(x)<0,
∴g(x)在区间 上为增函数,在区间
上为减函数,
∴g(x)在其定义域 上有最大值,最大值为
,
由g(x)≤0,得 ,∴b≤a﹣alna,∴ab≤a2﹣a2lna,
设h(a)=a2﹣a2lna,则h'(a)=2a﹣(2alna+a)=a(1﹣2lna),
∴ 时,
时,h'(a)<0,
∴h(a)在区间 上为增函数,在区间
上为减函数,
∴h(a)的最大值为 ,
∴当 时,ab取最大值为
,
综合①,②得,ab最大值为 .
【解析】(1)推导出 ,利用导数的几何意义列出方程组,能求出a,b的值.(2)设g(x)=f(x)﹣(x2+x),则g(x)=ln(ax+b)﹣x,依题意g(x)≤0恒成立,根a<0,a>0两种情况分类讨论,利用导数性质能求出ab的最大值.
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握求函数在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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