题目内容
【题目】已知函数f(x)=(ax﹣1)e2x+x+1(其中e为自然对数的e底数).
(1)若a=0,求函数f(x)的单调区间;
(2)对x∈(0,+∞),f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
【答案】
(1)解:a=0时,f(x)=﹣e2x+x+1,f′(x)=﹣2e2x+1,
由f′(x)=0,解得x=﹣ ,
当x∈(﹣∞,﹣ )时,f′(x)>0,当x∈(﹣
,+∞)时,f′(x)<0,
∴函数f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣ ),单调减区间为(﹣
,+∞).
(2)解:f′(x)=(2ax﹣2+a)e2x+1,令g(x)=(2ax﹣2+a)e2x+1,
则g′(x)=4(ax﹣1+a)e2x,
①若a≥1,当x∈(0,+∞),g′(x)>0,从而g(x)在(0,+∞)上单调递增且g(0)=a﹣1≥0,
∴x∈(0,+∞)时,g(x)>0即f′(x)>0,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增且f(0)=0,
∴x∈(0,+∞)时,f(x)>0恒成立,符合题意.
②若a≤0,则x∈(0,+∞)时,g′(x)<0恒成立,
∴g(x)在(0,+∞)单调递减,则g(x)<g(0)=a﹣1,
即x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,
∴函数f(x)在(0,+∞)单调递减,此时f(x)<f(0)=0,不符合题意.
③若0<a<1,由g′(x)=4(ax﹣1+a)e2x=0,得x= ,且x∈(0,
),g′(x)<0,
∴函数y=g(x)在(0, )单调递减.
∴x∈(0, )时,g(x)<g(0)=a﹣1<0,即x
时,f′(x)<0,
∴函数y=f(x)在(0, )单调递减,
∴x∈(0, )时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.
综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞).
【解析】(1)a=0时,f′(x)=﹣2e2x+1,由此利用导数性质能求出函数f(x)的单调区间.(2)f′(x)=(2ax﹣2+a)e2x+1,令g(x)=(2ax﹣2+a)e2x+1,则g′(x)=4(ax﹣1+a)e2x,由此利用分类讨论思想,结合导数应用能求出实数a的取值范围.
【考点精析】认真审题,首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减),还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】宿州市某登山爱好者为了解山高y(百米)与气温x(℃)之间的关系,随机统计了4次山高与相应的气温,并制作了对照表,由表中数据,得到线性回归方程为y=﹣2x+a,由此估计山高为72(百米)处的气温为( )
气温x(℃) | 18 | 13 | 10 | ﹣1 |
山高y(百米) | 24 | 34 | 38 | 64 |
A.﹣10
B.﹣8
C.﹣6
D.﹣4