Question

【题目】已知函数f（x）=（ax﹣1）e2x+x+1（其中e为自然对数的e底数）．
（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；
（2）对x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=0时，f（x）=﹣e2x+x+1，f′（x）=﹣2e2x+1，

由f′（x）=0，解得x=﹣ ，

当x∈（﹣∞，﹣ ）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣ ，+∞）时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣ ），单调减区间为（﹣ ，+∞）．

（2）解：f′（x）=（2ax﹣2+a）e2x+1，令g（x）=（2ax﹣2+a）e2x+1，

则g′（x）=4（ax﹣1+a）e2x，

①若a≥1，当x∈（0，+∞），g′（x）＞0，从而g（x）在（0，+∞）上单调递增且g（0）=a﹣1≥0，

∴x∈（0，+∞）时，g（x）＞0即f′（x）＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增且f（0）=0，

∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，符合题意．

②若a≤0，则x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0恒成立，

∴g（x）在（0，+∞）单调递减，则g（x）＜g（0）=a﹣1，

即x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（0，+∞）单调递减，此时f（x）＜f（0）=0，不符合题意．

③若0＜a＜1，由g′（x）=4（ax﹣1+a）e2x=0，得x= ，且x∈（0， ），g′（x）＜0，

∴函数y=g（x）在（0， ）单调递减．

∴x∈（0， ）时，g（x）＜g（0）=a﹣1＜0，即x 时，f′（x）＜0，

∴函数y=f（x）在（0， ）单调递减，

∴x∈（0， ）时，f（x）＜f（0）=0，不符合题意．

综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞）．

【解析】（1）a=0时，f′（x）=﹣2e2x+1，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．（2）f′（x）=（2ax﹣2+a）e2x+1，令g（x）=（2ax﹣2+a）e2x+1，则g′（x）=4（ax﹣1+a）e2x，由此利用分类讨论思想，结合导数应用能求出实数a的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．