Question

12．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC-$\frac{1}{2}$c=b．
（I）求角A的大小；  
（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

分析 （I）已知等式利用正弦定理化简，将sinB=sin（A+C）代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出cosA的值，即可确定出角A的大小；
（Ⅱ）由a，sinA的值，利用正弦定理表示出b与c，进而表示出l，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域确定出范围即可．

解答 解：（I）由acosC-$\frac{1}{2}$c=b得：sinAcosC-$\frac{1}{2}$sinC=sinB，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴$\frac{1}{2}$sinC=-cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，
又0＜A＜π，
∴A=$\frac{2π}{3}$；
（II）由正弦定理得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC，
l=a+b+c=3+2$\sqrt{3}$（sinB+sinC）=3+2$\sqrt{3}$[sinB+sin（A+B）]=3+2$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB）=3+2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{3}$），
∵A=$\frac{2π}{3}$，∴B∈（0，$\frac{π}{3}$），
∴B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴sin（B+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
则△ABC的周长l的取值范围为（6，3+2$\sqrt{3}$]．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．