题目内容
17．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，且椭圆上一点与两个焦点构成的三角形周长为6+4$\sqrt{2}$．（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点（A，B不是顶点），且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，证明这样的直线l恒过定点，并求出该点坐标．
分析 （I）由题意可得：2a+2c=6+4$\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．
（II）由题意可得：直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x=my+n，与椭圆方程联立化为（m2+9）y2+2mny+n2-9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由于以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，可得CA⊥CB，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=0，即（my1+n-3）（my2+n-3）+y1y2=0，化简整理代入根与系数的关系即可得出．
解答 解：（I）由题意可得：2a+2c=6+4$\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，又a2=b2+c2，
解得a=3，b=1，c=2$\sqrt{2}$，
∴椭圆M的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+y2=1．
（II）由题意可得：直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x=my+n，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{{x}^{2}+9{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，化为（m2+9）y2+2mny+n2-9=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2=$\frac{-2mn}{{m}^{2}+9}$，y1y2=$\frac{{n}^{2}-9}{{m}^{2}+9}$．
∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，
∴CA⊥CB．∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=0，
∴（x1-3）（x2-3）+y1y2=0，
∴（my1+n-3）（my2+n-3）+y1y2=0，
化为（m2+1）y1y2+m（n-3）（y1+y2）+（n-3）2=0，
∴$\frac{（{m}^{2}+1）（{n}^{2}-9）}{{m}^{2}+9}$+$\frac{m（n-3）（-2mn）}{{m}^{2}+9}$+（n-3）2=0，
解得n=3或n=$\frac{12}{5}$，
n=3舍去；
n=$\frac{12}{5}$，直线AB经过定点$（\frac{12}{5}，0）$，满足与椭圆有两个交点．
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、直线过定点问题、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
阅读快车系列答案| A． | （1，$\sqrt{3}$] | B． | （0，$\sqrt{3}$] | C． | （1，2] | D． | [1，2] |
| A． | 最大值$\frac{\sqrt{2}}{3}$ | B． | 最小值$\frac{\sqrt{2}}{3}$ | C． | 最大值1 | D． | 最小值1 |