题目内容
【题目】设实数a,b满足a+2b=9.
(1)若|9﹣2b|+|a+1|<3,求a的取值范围;
(2)若a,b>0,且z=ab2 , 求z的最大值.
【答案】
(1)解:解:(1)由a+2b=9得a=9﹣2b,即|a|=|9﹣2b|,
若|9﹣2b|+|a+1|<3,则|a|+|a+1|<3,
即有 或
或
,
解得0<a<1或﹣2<a<﹣1或﹣1≤a≤0,
解得﹣2<a<1,
所以a的取值范围为(﹣2,1);
(2)解:方法一、由a,b>0,且z=ab2=abb≤( )3=(
)3=33=27,
当且仅当a=b=3时,等号成立.
故z的最大值为27.
方法二、a+2b=9,可得a=9﹣2b,
由a>0,可得0<b< ,
z=ab2=(9﹣2b)b2=9b2﹣2b3,
z的导数为z′=18b﹣6b2=6b(3﹣b),
可得0<b<3,导数z′>0,函数z递增;
3<b< 时,导数z′<0,函数z递减.
则b=3处函数z取得极大值,且为最大值27.
【解析】(1)由条件原不等式变为|a|+|a+1|<3,对a讨论,去掉绝对值,解不等式即可得到所求解集;(2)方法一、由a,b>0,且z=ab2=abb,运用三元基本不等式,即可得到得到最大值;方法二、由条件可得a=9﹣2b,求得b的范围,求出z关于b的函数,求出导数,单调区间,可得极大值,且为最大值.
【考点精析】通过灵活运用基本不等式在最值问题中的应用,掌握用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”即可以解答此题.
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【题目】传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化,是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征.教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核.某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果,进行了一次阶段检测,并从中随机抽取80名同学的成绩,然后就其成绩分为A、B、C、D、E五个等级进行数据统计如下:
成绩 | 人数 |
A | 9 |
B | 12 |
C | 31 |
D | 22 |
E | 6 |
根据以上抽样调查数据,视频率为概率.
(1)若该校高二年级共有1000名学生,试估算该校高二年级学生获得成绩为B的人数;
(2)若等级A、B、C、D、E分别对应100分、80分、60分、40分、20分,学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”,请问该校高二年级此阶段教学是否达标?
(3)为更深入了解教学情况,将成绩等级为A、B的学生中,按分层抽样抽取7人,再从中任意抽取3名,求抽到成绩为A的人数X的分布列与数学期望.