Question

【题目】设实数a，b满足a+2b=9．
（1）若|9﹣2b|+|a+1|＜3，求a的取值范围；
（2）若a，b＞0，且z=ab2 ， 求z的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：解：（1）由a+2b=9得a=9﹣2b，即|a|=|9﹣2b|，

若|9﹣2b|+|a+1|＜3，则|a|+|a+1|＜3，

即有 或 或 ，

解得0＜a＜1或﹣2＜a＜﹣1或﹣1≤a≤0，

解得﹣2＜a＜1，

所以a的取值范围为（﹣2，1）；

（2）解：方法一、由a，b＞0，且z=ab2=abb≤（ ）3=（ ）3=33=27，

当且仅当a=b=3时，等号成立．

故z的最大值为27．

方法二、a+2b=9，可得a=9﹣2b，

由a＞0，可得0＜b＜ ，

z=ab2=（9﹣2b）b2=9b2﹣2b3，

z的导数为z′=18b﹣6b2=6b（3﹣b），

可得0＜b＜3，导数z′＞0，函数z递增；

3＜b＜ 时，导数z′＜0，函数z递减．

则b=3处函数z取得极大值，且为最大值27．

【解析】（1）由条件原不等式变为|a|+|a+1|＜3，对a讨论，去掉绝对值，解不等式即可得到所求解集；（2）方法一、由a，b＞0，且z=ab2=abb，运用三元基本不等式，即可得到得到最大值；方法二、由条件可得a=9﹣2b，求得b的范围，求出z关于b的函数，求出导数，单调区间，可得极大值，且为最大值．
【考点精析】通过灵活运用基本不等式在最值问题中的应用，掌握用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”即可以解答此题．