题目内容

已知P是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上异于长轴端点A、B的任意点,若直线PA、PB的斜率乘积kPA•kPB=-
2
3
,则该椭圆的离心率为(  )
A.
3
3
B.
6
6
C.
1
2
D.
2
2
∵A,B连线经过坐标原点,∴A,B一定关于原点对称,
设A(x1,y1),B(-x1,-y1),P(x,y)
∴kPA•kPB=
y1-y
x1-x
×
-y1-y
-x1-x
=
y2-
y21
x2-
x21

x2
a2
+
y2
b2
=1
x12
a2
+
y12
b2
=1

∴两方程相减可得
y2-
y21
x2-
x21
=-
b2
a2

∵kPA•kPB=-
2
3

∴-
b2
a2
=-
2
3

b2
a2
=
2
3

a2-c2
a2
=
2
3
c
a
=
3
3

∴e=
3
3

故选A.
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