题目内容
已知P是椭圆
+
=1(a>b>0)上异于长轴端点A、B的任意点,若直线PA、PB的斜率乘积kPA•kPB=-
,则该椭圆的离心率为( )
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
2 |
3 |
A.
| B.
| C.
| D.
|
∵A,B连线经过坐标原点,∴A,B一定关于原点对称,
设A(x1,y1),B(-x1,-y1),P(x,y)
∴kPA•kPB=
×
=
∵
+
=1,
+
=1,
∴两方程相减可得
=-
∵kPA•kPB=-
,
∴-
=-
∴
=
∴
=
,
=
∴e=
.
故选A.
设A(x1,y1),B(-x1,-y1),P(x,y)
∴kPA•kPB=
y1-y |
x1-x |
-y1-y |
-x1-x |
y2-
| ||
x2-
|
∵
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
x12 |
a2 |
y12 |
b2 |
∴两方程相减可得
y2-
| ||
x2-
|
b2 |
a2 |
∵kPA•kPB=-
2 |
3 |
∴-
b2 |
a2 |
2 |
3 |
∴
b2 |
a2 |
2 |
3 |
∴
a2-c2 |
a2 |
2 |
3 |
c |
a |
| ||
3 |
∴e=
| ||
3 |
故选A.
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