题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的焦点坐标为（±1，0），椭圆经过点（1，
2
2
）
（1）求椭圆方程；
（2）过椭圆左顶点M（-a，0）与直线x=a上点N的直线交椭圆于点P，求
OP
•
ON
的值．
（3）过右焦点且不与对称轴平行的直线l交椭圆于A、B两点，点Q（2，t），若KQA+KQB=2与l的斜率无关，求t的值．
（1）由题意得
a2=b2+1
1
a2
+
1
2b2
=1
解得a2=2，b2=1
故椭圆方程为
x2
2
+y2=1
（2）设N（
2
，m），P（X，Y）则MN的方程为y=
m
2
2
(x+
2
)
由
y=
d
2
2
(x+
2
)
x2
2
+y2=1
得(4+m2)x2+2
2
m2x+2m2-8=0
由韦达定理得x-
2
=
-2
2
m2
4+m2
所以x=
4
2
-
2
m2
4+m2
代入直线方程得
P（
4
2
-
2
m2
4+m2
，
4m
4+m2
）
∴
OP
=(
4
2
-
2
m2
4+m2
，
4m
4+m2
)，
ON
=(
2
，m)
∴
OP
•
ON
=
8-2m2
4+m2
+
4m2
4+m2
=2
（3）AB的方程为x=my+1，设A（e，f），B（g，h）
由
x=my+1
x2
2
+y2=1
得（m2+2）y2+2my-1=0
所以f+h=-
2m
m2+2
，fh=
-1
m2+2

kQA+kQB=
f-t
e-2
+
h-t
g-2
=
f-t
mf-1
+
h-t
mh-1

=
2mfh-(mt+1)(f+h)+2t
m2fh-m(f+h)+1

=
-
2m
m2+2
+
(mt+1)•2m
m2+2
+2t
-
m2
m2+2
+
2m2
m2+2
+1
=2
∵KQA+KQB=2与l的斜率无关
∴2t=2，即t=1．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
10-4
+
y2
4-2
=1，焦点在y轴上，若焦距等于4，则实数4=______．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的交点到两焦点的距离分别是3和1，则椭圆的标准方程是______．
椭圆
x2
m2+12
+
y2
m2-4
=1(m＜-2，或m＞2)的焦距是（　　）
A．4B．2
2
C．8D．与m有关
已知θ为斜三角形的一个内角，曲线F：x2sin2θcos2θ+y2sin2θ=cos2θ是（　　）
A．焦点在x轴上，离心率为sinθ的双曲线
B．焦点在x轴上，离心率为sinθ的椭圆
C．焦点在y轴上，离心率为|cosθ|的双曲线
D．焦点在y轴上，离心率为|cosθ|的椭圆
已知a=6，b=5，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是（　　）
A．
x2
36
+
y2
35
=1		B．
x2
36
+
y2
25
=1
C．
x2
35
+
y2
36
=1		D．
x2
25
+
y2
36
=1
设m是正实数．若椭圆
x2
m2+16
+
y2
9
=1的焦距为8，则m=______．
已知P是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上异于长轴端点A、B的任意点，若直线PA、PB的斜率乘积kPA•kPB=-
2
3
，则该椭圆的离心率为（　　）
A．
3
3
B．
6
6
C．
1
2
D．
2
2
已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足
MF1
⊥
MF2
的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是______．

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