题目内容

过椭圆
x2
16
+
y2
9
=1内的点P（1，2）作两条互相垂直的弦AB，CD，若弦AB，CD的中点分别为M，N，则直线MN恒过定点，定点的坐标为______．
设直线AB的方程为y-2=k（x-1），与椭圆消去y得
（9+16k2）x2-32k（k-2）x+16（k-2）2-144=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（xM，yM）
∴x1+x2=
32k(k-2)
9+16k2
，可得xM=
1
2
（x1+x2）=
16k(k-2)
9+16k2

代入直线AB方程，得yM=
-9k+18
9+16k2

∴AB中点为M（
16k(k-2)
9+16k2
，
-9k+18
9+16k2
）
∵直线AB、CD互相垂直，∴用-
1
k
代替k，得CD中点为N（
16+32k
9k2+16
，
9k+18k2
9k2+16
）
因此，直线MN方程为
y-
-9k+18
9+16k2
9k+18k2
9k2+16
-
-9k+18
9+16k2
=
x-
16k(k-2)
9+16k2
16+32k
9k2+16
-
16k(k-2)
9+16k2

取k=1，得直线方程y-
9
25
=
9
32
(x+
16
25
)，记为l1； 再k=-1，得直线方程y-
27
25
=
9
32
(x-
48
25
)，记为l2．
∵随着直线AB、CD运动，直线MN恒过定点
∴直线l1与l2的交点即为MN恒过的定点，联解
y-
9
25
=
9
32
(x+
16
25
)
y-
27
25
=
9
32
(x-
48
25
)
，得
x=
16
25
y=
18
25

因此，直线MN恒过定点（
16
25
，
18
25
）
故答案为：（
16
25
，
18
25
）
练习册系列答案
相关题目
若动点P（x，y）满足
x2+(y-3)2
+
x2+(y+3)2
=10，则点P的轨迹是______．
椭圆
x2
m2+12
+
y2
m2-4
=1(m＜-2，或m＞2)的焦距是（　　）
A．4B．2
2
C．8D．与m有关
已知a=6，b=5，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是（　　）
A．
x2
36
+
y2
35
=1		B．
x2
36
+
y2
25
=1
C．
x2
35
+
y2
36
=1		D．
x2
25
+
y2
36
=1
设m是正实数．若椭圆
x2
m2+16
+
y2
9
=1的焦距为8，则m=______．
设F1，F2为椭圆
x2
25
+
y2
16
=1的左右焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（　　）
A．28B．26C．22D．20
已知P是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上异于长轴端点A、B的任意点，若直线PA、PB的斜率乘积kPA•kPB=-
2
3
，则该椭圆的离心率为（　　）
A．
3
3
B．
6
6
C．
1
2
D．
2
2
设A(x1，y1)，B(4，
9
5
)，C(x2，y2)是右焦点为F的椭圆
x2
25
+
y2
9
=1上三个不同的点，则“|AF|，|BF|，|CF|成等差数列”是“x1+x2=8”的（　　）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既非充分也非必要
若椭圆x2+
y2
2
=a2(a＞0)和连接A（1，1）、B（2，3）两点的线段没有公共点，则实数a的取值范围是（　　）
A．[0，
6
2
]		B．[
6
2
，
34
2
]
C．[
34
2
，+∞]		D．(0，
6
2
)∪(
34
2
，+∞)

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