题目内容
【题目】某人利用一根原木制作一件手工作品，该作品由一个球体和一个正四棱柱组成，假定原 木为圆柱体（如图1），底面半径为
，高为
，制作要求如下：首先需将原木切割为两部分（分别称为第I圆柱和第II圆柱），要求切面与原木的上下底面平行（不考虑损耗） 然后将第I圆柱切割为一个球体，要求体积最大，将第II圆柱切割为一个正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分别为第II圆柱上下底面圆的内接正方形.
（1）当
时，若第I圆柱和第II圆柱的体积相等，求该手王作品的体积；
（2）对于给定的和
，求手工作品体积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由已知可得第I圆柱和第II圆柱高相等为4，等于圆柱底面直径，第I圆柱的球体最大直径为4，再由条件可求出正四棱柱的底面边长，从而求出体积，即可求解；
（2）设第I圆柱的高为
，则第II圆柱的高为
，求出正四棱柱体积为
，而球半径为与
较小值，对
分类讨论，当
是，球的半径为
，体积定值，只需求
最大值即可；当
，球最大半径为
，求出球的体积与正四棱柱体积和，通过求导，求出最大值，对比两个范围的最大值，即可求解.
（1）因为第I圆柱和第II圆柱的体积一样大，
所以它们的高一样，可设为
第I圆柱的球体直径不超过
和
因此第I圆柱内的最大球体半径即为
球体体积
因为正四棱柱的底面正方形内接于半径为
的圆
所以正方形的对角线长为
，边长为
正四棱柱体积
，
手工作业的体积为
.
（2）设第I圆柱的高为，则第II圆柱的高为，
①当时，第I圆柱内的球体直径应不超过和，
故球体的最大半径应为
由（1）可知，此时第II圆柱内的正四棱柱底面积为
，
故当
时，最大为
，
手工作品的体积最大值为
.
②当时，第I圆柱内的球体直径应不超过和，
故球体的最大直径应为，
球体体积
，
正四棱柱体积
所以手工作品的体积为
.
.
令
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|
|
|
|
|
|
|
| 递减 | 极小 | 递增 |
，
因为
，
所以
所以当时，
手工作品的体积最大值为
【题目】某市房管局为了了解该市市民
年
月至
年月期间买二手房情况，首先随机抽样其中
名购房者，并对其购房面积
（单位：平方米，
）进行了一次调查统计，制成了如图所示的频率分布直方图，接着调查了该市年月至年月期间当月在售二手房均价
（单位：万元/平方米），制成了如图
所示的散点图（图中月份代码
分别对应年月至年月）.
（1）试估计该市市民的购房面积的中位数
；
（2）现采用分层抽样的方法从购房面积位于
的
位市民中随机抽取
人，再从这人中随机抽取人，求这人的购房面积恰好有一人在
的概率；
（3）根据散点图选择
和
两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为
和
，并得到一些统计量的值如下表所示：
|
| |
| 0.000591 | 0.000164 |
| 0.006050 | |
请利用相关指数
判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出年
月份的二手房购房均价（精确到
）
（参考数据）
，
，
，
，
，
，
（参考公式）
