题目内容
【题目】对于数列
，若满足
，则称数列
为“0-1数列”．定义变换
，将“0-1数列”中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．例如:1,0,1，则
设
是“0-1数列”，令
3，…．
（Ⅰ） 若数列
：
求数列
；
（Ⅱ） 若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；
（Ⅲ）若为0，1，记数列
中连续两项都是0的数对个数为
，
．求关于
的表达式．
【答案】(Ⅰ) 
；
；
(Ⅱ) 10对 ；见详解；
(Ⅲ) 
【解析】
试题（Ⅰ）由变换
的定义“将“
数列”
中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．”直接可得数列
；（Ⅱ）数列
中连续两项相等的数对至少有10对，对于任意一个“0-1数列”，中每一个1在
中对应连续四项1，0，0，1，在中每一个0在中对应的连续四项为0，1，1，0，因此，共有10项的“0-1数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对； （Ⅲ）设
中有
个01数对，
中的00数对只能由中的
数对得到，所以
，中的01数对有两个产生途径：①由中的1得到； ②由中00得到，讨论
的奇偶可求出所求．
试题解析：解：（Ⅰ）由变换的定义可得
（Ⅱ） 数列中连续两项相等的数对至少有10对
证明：对于任意一个“0-1数列”，中每一个1在中对应连续四项1,0,0,1，在中每一个0在中对应的连续四项为0,1,1,0，
因此，共有10项的“0-1数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，
所以中至少有10对连续相等的数对．
（Ⅲ） 设中有个01数对，
中的00数对只能由中的01数对得到，所以，
中的01数对有两个产生途径：①由中的1得到； ②由中00得到，
由变换的定义及
可得中0和1的个数总相等，且共有
个，
所以
，
所以
，
由可得
，
所以
，
当
时，
若为偶数，
上述各式相加可得
，
经检验，
时，也满足
若为奇数，
上述各式相加可得
，
经检验，
时，也满足
所以
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