题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知平行于
轴的动直线
交抛物线
:
于点
,点
为
的焦点.圆心不在
轴上的圆
与直线
,
,
轴都相切,设
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若直线与曲线
相切于点
,过
且垂直于
的直线为
,直线
,
分别与
轴相交于点
,
.当线段
的长度最小时,求
的值.
【答案】(1)
.(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)设根据题意得到
,化简得到轨迹方程;(2)设
,
,
,
,构造函数研究函数的单调性,得到函数的最值.
解析:
(1)因为抛物线的方程为
,所以
的坐标为
,
设,因为圆
与
轴、直线
都相切,
平行于
轴,
所以圆的半径为
,点
,则直线
的方程为
,即
,
所以,又
,所以
,即
,
所以的方程为
.
(2)设,
,
,
由(1)知,点处的切线
的斜率存在,由对称性不妨设
,
由,所以
,
,
所以,
,
所以.
令,
,则
,
由得
,由
得
,
所以在区间
单调递减,在
单调递增,
所以当时,
取得极小值也是最小值,即
取得最小值, 此时
.
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