Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x+3m|（m＞0）． （Ⅰ）当m=1时，求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）对于任意实数x，t，不等式f（x）＜|2+t|+|t﹣1|恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ， 当m=1时，由 或x≤﹣3，得到 ，
∴不等式f（x）≥1的解集为 ；
（Ⅱ）不等式f（x）＜|2+t|+|t﹣1|对任意的实数t，x恒成立，
等价于对任意的实数xf（x）＜[|2+t|+|t﹣1|]min恒成立，
即[f（x）]max＜[|2+t|+|t﹣1|]min ，
∵f（x）=|x﹣m|﹣|x+3m|≤|（x﹣m）﹣（x+3m）|=4m，
|2+t|+|t﹣1|≥|（2+t）﹣（t﹣1）|=3，
∴4m＜3又m＞0，所以
【解析】（Ⅰ）将m=1的值带入，得到关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题等价于对任意的实数xf（x）＜[|2+t|+|t﹣1|]min恒成立，根据绝对值的性质求出f（x）的最大值以及[|2+t|+|t﹣1|]min ， 求出m的范围即可．
【考点精析】掌握绝对值不等式的解法是解答本题的根本，需要知道含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．