题目内容
【题目】已知点,椭圆
的离心率
,
是椭圆
的右焦点,直线
的斜率为
,
为坐标原点.
()求椭圆
的方程.
()设过点
的动直线
与
相交于
,
两点,当
的面积最大时,求直线
的方程.
【答案】(1) .
(2) 或
.
【解析】分析:(1)设,由直线
的斜率为
得
,解得
,然后根据离心率条件的得a值即可得出标准方程;(2)分直线斜率存在和不存在两种情况讨论,当直线
斜率存在时,设直线
,
,
,连立方程,由弦长公式和点到直线的距离公式得到三角形的底和高的表达式,然后根据面积公式得到表达式,结合基本不等式求解即可.
详解:
()设
,
由直线的斜率为
得
,解得
,
又离心率,得
,
∴,
故椭圆的方程为
.
()当直线
轴时,不符合题意,
当直线斜率存在时,设直线
,
,
,
联立,得
,
由,得
,即
或
,
,
,
∴
,
又点到直线
的距离
,
∴的面积
,
设,则
,
∴,当且仅当
,即
时,等号成立,且
,
∴直线的方程为:
或
.
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