Question

如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．

（1）求证：PC⊥AC；
（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；
（3）求点B到平面MAC的距离．

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）

试题分析：（1）先根据线面垂直的判定定理证PC⊥平面ABC，即可证得PC⊥AC。（2）用空间向量法求二面角。先过C作BC的垂线，建立空间直角坐标系，再求各点的坐标，和各向量的坐标，再根据向量垂直的数量积公式求面的法向量，但需注意两法向量所成的角和二面角相等或互补。（3）在（2）中已求出面的一个法向量，根据可求其距离。
试题解析：解：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∵∴PC⊥AC．      2分
（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．

设P（0，0，z），则．
．
∵，
且z＞0，∴，得z=1，∴．
设平面MAC的一个法向量为=（x，y，1），则由
得得    ∴．
平面ABC的一个法向量为．
．
显然，二面角M﹣AC﹣B为锐二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．    8分
（3）点B到平面MAC的距离．           12分