Question

1．已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=-2x+1且f（2）=15．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）=（2-2m）x-f（x）；
①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；
②求函数g（x）在x∈[0，2]的最小值．

Answer 1

分析 （1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．
（2）函数g（x）的图象是开口朝上，且以x=m为对称轴的抛物线，
①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2；
②分当m≤0时，当0＜m＜2时，当m≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，
∵f（2）=15，f（x+1）-f（x）=-2x+1，
∴4a+2b+c=15；a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=-2x+1；
∴2a=-2，a+b=1，4a+2b+c=15，解得a=-1，b=2，c=15，
∴函数f（x）的表达式为f（x）=-x²+2x+15；
（2）∵g（x）=（2-2m）x-f（x）=x²-2mx-15的图象是开口朝上，且以x=m为对称轴的抛物线，
①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2；
②当m≤0时，g（x）在[0，2]上为增函数，当x=0时，函数g（x）取最小值-15；
当0＜m＜2时，g（x）在[0，m]上为减函数，在[m，2]上为增函数，当x=m时，函数g（x）取最小值-m²-15；
当m≥2时，g（x）在[0，2]上为减函数，当x=2时，函数g（x）取最小值-4m-11；
∴函数g（x）在x∈[0，2]的最小值为$\left\{\begin{array}{l}-15，m≤0\\-{m}^{2}-15，0＜m＜2\\-4m-11，m≥2\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．