Question

【题目】已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， =2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ）
A.2
B.3
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
直线AB与x轴的交点为M（m，0），
由 y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1y2=﹣m，
∵ =2，∴x1x2+y1y2=2，
结合 及 ，得 ，
∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1y2=﹣2，故m=2．
不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又 ，
∴S△ABO+S△AFO= = ×2×（y1﹣y2）+ × y1 ，
= ．
当且仅当 ，即 时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．

可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及 =2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．