题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
:
的离心率为
,直线
被椭圆
截得的线段长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过原点的直线与椭圆交于
,
两点(
,
不是椭圆
的顶点),点
在椭圆
上,且
.直线
与
轴、
轴分别交于
,
两点.设直线
,
的斜率分别为
,
,证明存在常数
使得
,并求出
的值.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)甶椭圆离心率得到 的关系,化简椭圆方程,和直线方程联立后求出交点的横坐标,把弦长用交点横坐标表示,则
的值可求,进一步得到
的值,则椭圆方程可求;(2)设出
的坐标分别为
用
的坐标表示
的坐标,把
和
的斜率都用
的坐标表示,写出直线
的方程,和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到
横纵坐标的和,求出
中点坐标,则
斜率可求,再写出
所在直线方程,取
得到
点坐标,由两点求斜率得到
的斜率,由两直线斜率的关系得到
的值;
试题解析:(Ⅰ)∵,∴
,
,∴
.①
设直线与椭圆
交于
,
两点,不妨设点
为第一象限内的交点.∴
,∴
代入椭圆方程可得
.②
由①②知,
,所以椭圆的方程为:
.
(Ⅱ)设,则
,直线
的斜率为
,又
,故直线
的斜率为
.设直线
的方程为
,由题知
,
联立
,得
.
∴,
,由题意知
,
∴,直线
的方程为
.
令,得
,即
,可得
,∴
,即
.
因此存在常数使得结论成立.
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