题目内容
【题目】圆C满足:①圆心C在射线y=2x(x>0)上; ②与x轴相切;
③被直线y=x+2截得的线段长为
(1)求圆C的方程;
(2)过直线x+y+3=0上一点P作圆C的切线,设切点为E、F,求四边形PECF面积的最小值,并求此时 的值.
【答案】
(1)解:圆心C的坐标为(a,2a)(a>0),半径为r.
则有 ,解得
∴圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2=4
(2)解:由切线的性质知:四边形PECF的面积S=|PE|r=r =
∴四边形PECF的面积取最小值时,|PC|最小,
即为圆心C(1,2)到直线x+y+3=0的距离d=3 .
∴|PC|最小为
∴四边形PEMF的面积S的最小值为2
此时| |=| |= ,设∠CPE=∠CPF=α,则
∴ =| |2cos2α=| |2 (1﹣2sin2α)=
【解析】(1)圆心C的坐标为(a,2a)(a>0),半径为r,利用条件建立方程组,即可求圆C的方程;(2)四边形PECF的面积取最小值时,|PC|最小,从而可求 的值.
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