Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，若对任意互不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围；

（3）判断函数在上的零点的个数，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）3个零点.

【解析】试题分析：（1）当时，不等式为，去掉绝对值化为或，解得；（2）先求出函数的单调增区间为和，由题意可得在上单调增，故可得，解得解得或；（3），当时，根据零点存在定理可得函数在区间和区间各有一个零点；当时，函数在区间上单调递增，在区间有一个零点，综上可得函数共有3个零点。

试题解析：

（1）当时，不等式为，

∴或，

解得，

∴原不等式的解集为.

（2)

的单调增区间为和

又在上单调增，

，

解得或

∴实数的取值范围为 .

（3）由题意得

①当时，对称轴为，

因为，

∴，

∵，即

∴，

又

由零点存在性定理可知，函数在区间和区间各有一个零点；

②当时，对称轴为，

函数在区间上单调递增且，

所以函数在区间有一个零点。

综上函数在上有3个零点.