题目内容
【题目】已知函数.
(1)试判断函数的单调性;
(2)设,求
在
上的最大值;
(3)试证明:对任意,不等式
都成立(其中
是自然对数的底数).
【答案】(1)函数在
上单调递增,在
上单调递减;
(2)在
上的最大值为
;
(3) 证明过程详见试题解析.
【解析】试题分析:(1)先对函数求导,令导函数为0,即可求得函数在
上单调递增,在
上单调递减. (2)结合函数的单调性,分
时,
时,
三种情况进行讨论,即可求
在
上的最大值;(3) 把证明过程转化为恒成立问题即可.
试题解析:(1)解:(1)函数的定义域是
.由已知
.
令,得
.
因为当时,
;当
时,
.
所以函数在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)由(1)可知当,即
时,
在
上单调递增,所以
.
当时,
在
上单调递减,所以
.
当,即
时,
.
综上所述,
(3)由(1)知当时
.所以在
时恒有
,即
,当且仅当
时等号成立.因此对任意
恒有
.因为
,
,所以
,即
.因此对任意
,不等式
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为响应阳光体育运动的号召,某县中学生足球活动正如火如荼地展开,该县为了解本县中学生的足球运动状况,根据性别采取分层抽样的方法从全县24000名中学生(其中男生14000人,女生10000人)中抽取120名,统计他们平均每天足球运动的时间,如下表:(平均每天足球运动的时间单位为小时,该县中学生平均每天足球运动的时间范围是).
(1)请根据样本估算该校男生平均每天足球运动的时间(结果精确到0.1);
(2)若称平均每天足球运动的时间不少于2小时的学生为“足球健将”,低于2小时的学生为“非足球健将”.
①请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表,并通过计算判断,能否有90%的把握认为是否为“足球健将”与性别有关?
②若在足球运动时间不足1小时的男生中抽取2名代表了解情况,求这2名代表都是足球运动时间不足半小时的概率.
参考公式:,其中
.
参考数据:
0.05 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
3.841 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |