题目内容
【题目】已知函数在点
处的切线与直线
平行,且
,其中
.
(Ⅰ)求的值,并求出函数
的单调区间;
(Ⅱ)设函数,对于正实数
,若
,使得
成立,求
的最大值.
【答案】(Ⅰ),
的单调递增区间为
; (Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求导得斜率,列方程,求解即可
(Ⅱ),使得
成立等价于
在区间
上有解,即
在区间
上有解,转化为
在区间
上有解,构造函数
,求导利用单调性求解即可.
试题解析:
(Ⅰ)对求导,得
.若
在点
处的切线与直线
平行,则
,又
,求得
.
即,此时
,定义域为
,
对求导,得
.
由,求得
,即
的单调递增区间为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,使得
成立等价于
在区间
上有解,即
在区间
上有解.
因为当时,
(不同时取等号),所以
,
于是在区间
上有解可转化为
在区间
上有解.
记,
则.
因为,则
,
所以,即
在
上单调递增,
所以,
可知.
于是实数的最大值为
.
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